2012/02/29
1、某小组在下午6点多开了一个会，刚开会时小张看了一下手表，发现那时表的分针与时针垂直。下午7点之前小组会就结束了，散会时小张又看了一下手表，发现分针与时针仍然垂直，那么这个小组会共开了多少分钟？
A. 30 B. 360/11 C. 380/11 D. 420/11
【答案】B
【解析】假定时针不动，则这两个状态之间分针经过30分钟，根据钟表追及公式，实际经过时间为30＋30/11＝360/11。
2、将1，2，3，……，25写进5×5的方格纸，使得每一行的数从左向右是递增的，则方格纸上第3列中的5个数的最小值最大是多少？
A. 9 B. 10 C. 11 D. 21
【答案】C
【解析】当1到10写进前两列时，11必写在第3列，且是第3列5个数中最小的。若1到10没有都写进前两列，必有小于11的书写入第3、4、5列，那么第3列必有小于11的数。因此第3列5个数中的最小值最大是11。
3、小明和7个同学一起在教室里下棋，任意两人之间至多下一盘棋。若这7名同学下棋的盘数各不相同，则小明下棋的盘数最多是多少？
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】7名同学的盘数各不相同，则只能是0123456或者1234567，要想小明下的盘数多，则显然应为后者。在这种情况下，假定小明的同学为A到G，对弈情况如下，可知小明下棋的盘数为4盘。
A. 30 B. 360/11 C. 380/11 D. 420/11
【答案】B
【解析】假定时针不动，则这两个状态之间分针经过30分钟，根据钟表追及公式，实际经过时间为30＋30/11＝360/11。
2、将1，2，3，……，25写进5×5的方格纸，使得每一行的数从左向右是递增的，则方格纸上第3列中的5个数的最小值最大是多少？
A. 9 B. 10 C. 11 D. 21
【答案】C
【解析】当1到10写进前两列时，11必写在第3列，且是第3列5个数中最小的。若1到10没有都写进前两列，必有小于11的书写入第3、4、5列，那么第3列必有小于11的数。因此第3列5个数中的最小值最大是11。
3、小明和7个同学一起在教室里下棋，任意两人之间至多下一盘棋。若这7名同学下棋的盘数各不相同，则小明下棋的盘数最多是多少？
A. 3 B. 4 C. 5 D. 7
【答案】B
【解析】7名同学的盘数各不相同，则只能是0123456或者1234567，要想小明下的盘数多，则显然应为后者。在这种情况下，假定小明的同学为A到G，对弈情况如下，可知小明下棋的盘数为4盘。
2012/02/28
共有100个人参加某公司的招聘考试，考试内容共有5道题，1－5题分别有80人，92人，86人，78人，和74人答对，答对了3道和3道以上的人员能通过考试，请问至少有多少人能通过考试？
A.30 B.55 C.70 D.74
【答案】C
【解析】100张试卷共有500道题，考生一共答对了80+92+86+78+74=410道题，答错了90道题。根据已知，答对3道以上的能通过考试，也就等同于答错3道以上就不能通过考试，“问最少能有多少人通过考试”就是要使不能通过考试的人最大化，也就是将90道错题以每人3道题的形式分布。那么不能通过考试的人为90/3=30人，能通过考试的人为70人。
A.30 B.55 C.70 D.74
【答案】C
【解析】100张试卷共有500道题，考生一共答对了80+92+86+78+74=410道题，答错了90道题。根据已知，答对3道以上的能通过考试，也就等同于答错3道以上就不能通过考试，“问最少能有多少人通过考试”就是要使不能通过考试的人最大化，也就是将90道错题以每人3道题的形式分布。那么不能通过考试的人为90/3=30人，能通过考试的人为70人。
2012/02/28
1、甲、乙二人同时从A地出发沿公路向距离为60千米的B地前进，路上二人或者骑车或者步行。由于仅有一辆自行车，所以途中任一时刻至多有一人骑车。骑车的人可以随时将车放在路上继续步行前进，步行的人看到路上有自行车可以骑上车前进，也可以不骑车继续步行。结果甲比乙晚到2小时，若步行速度为5千米/小时，骑车速度为15千米/小时，则甲至少步行多少千米？
A. 22.5 B. 27.5 C. 32.5 D. 37.5
【答案】D
【解析】甲乙都尽量多的骑车，甲才能步行的最少。设甲步行x千米，骑车(60－x)千米，乙骑车x千米，步行(60－x)千米。根据甲比乙晚到2小时，可得方程x/5+(60-x)/15-[x/15+(60-x)/5]=2，解得x＝37.5（千米）。
2、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量都比原来多了15升，混合后纯酒精含量变为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？
A. 12 B. 30 C. 36 D. 42
【答案】A
【解析】混合后纯酒精含量为62%，则甲乙种酒精体积比(62-58)：(72-62)=2:5，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲乙种酒精体积比(63.25-58)：(72-63.25)=3:5 ，原因是每种酒精取的数量比原来都多取15升， 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x、5x升，则(2x+15)：(5x+15)=3:5。解得x=6。所以2×6=12，5×6=30，甲种酒精应取12升、乙种酒精取30升。
3、将1、2、3、4、5、6、7、8、9按任意顺序写成一排，其中任意相邻的三个数按其在排列中的顺序可组成唯一一个三位数，则这些三位数之和的最小值是多少？
A. 2899 B. 3122 C. 3192 D. 3215
【答案】B
【解析】当排列成下述样式时，三位数之和最小，其中中间的12345顺序可以任意安排。
7 6 1 2 3 4 5 8 9
最小值为761＋612＋123＋234＋345＋458＋589＝3122。
3 4 5 6 7 8 9 2 1
最大值为345＋456＋567＋678＋789＋892＋921＝4648。
A. 22.5 B. 27.5 C. 32.5 D. 37.5
【答案】D
【解析】甲乙都尽量多的骑车，甲才能步行的最少。设甲步行x千米，骑车(60－x)千米，乙骑车x千米，步行(60－x)千米。根据甲比乙晚到2小时，可得方程x/5+(60-x)/15-[x/15+(60-x)/5]=2，解得x＝37.5（千米）。
2、已知甲酒精纯酒精含量为72%，乙酒精纯酒精含量为58%，两种酒精混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量都比原来多了15升，混合后纯酒精含量变为63.25%，那么第一次混合时，甲酒精取了多少升？
A. 12 B. 30 C. 36 D. 42
【答案】A
【解析】混合后纯酒精含量为62%，则甲乙种酒精体积比(62-58)：(72-62)=2:5，混合后纯酒精含量为63.25%，则甲乙种酒精体积比(63.25-58)：(72-63.25)=3:5 ，原因是每种酒精取的数量比原来都多取15升， 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x、5x升，则(2x+15)：(5x+15)=3:5。解得x=6。所以2×6=12，5×6=30，甲种酒精应取12升、乙种酒精取30升。
3、将1、2、3、4、5、6、7、8、9按任意顺序写成一排，其中任意相邻的三个数按其在排列中的顺序可组成唯一一个三位数，则这些三位数之和的最小值是多少？
A. 2899 B. 3122 C. 3192 D. 3215
【答案】B
【解析】当排列成下述样式时，三位数之和最小，其中中间的12345顺序可以任意安排。
7 6 1 2 3 4 5 8 9
最小值为761＋612＋123＋234＋345＋458＋589＝3122。
3 4 5 6 7 8 9 2 1
最大值为345＋456＋567＋678＋789＋892＋921＝4648。
2012/02/27
1、将10个其和为100的整数放在一个圆周上，使得任意3个相邻数的和不小于29，则这10个数中最大的数一定不能大于（ ）？
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】C
【解析】要是最大的数尽可能大，则其余数字尽量小，而其余9个数字可以分为三组，根据题意每组加和最小为29，因此最大的数字不超过100－29×3＝13。对于13而言，还需要构造一种符合要求的情况，例如13、9、10、10、10、9、10、10、10、9，围成一圈符合要求。
2、砌一面墙，甲要用10天。若甲、乙合作只用6天就可完成；乙丙合作要用8天才能完成。现在甲、乙、丙一起工作，砌完这面墙后发现甲比乙多砌了2400块砖。那么丙砌了多少块砖？
A. 7200 B. 4800 C. 4200 D. 3600
【答案】C
【解析】由题意可知甲的效率为1/10，乙的效率为1/6－1/10＝1/15，丙的效率为1/8－1/15＝7/120。由此可知甲的效率是乙的效率的1.5倍，而砌完时甲比乙多砌2400块砖，这说明甲砌了7200块砖。根据甲丙的效率关系，可知丙砌的砖数为7200×7/120÷1/10＝4200块。
A. 11 B. 12 C. 13 D. 14
【答案】C
【解析】要是最大的数尽可能大，则其余数字尽量小，而其余9个数字可以分为三组，根据题意每组加和最小为29，因此最大的数字不超过100－29×3＝13。对于13而言，还需要构造一种符合要求的情况，例如13、9、10、10、10、9、10、10、10、9，围成一圈符合要求。
2、砌一面墙，甲要用10天。若甲、乙合作只用6天就可完成；乙丙合作要用8天才能完成。现在甲、乙、丙一起工作，砌完这面墙后发现甲比乙多砌了2400块砖。那么丙砌了多少块砖？
A. 7200 B. 4800 C. 4200 D. 3600
【答案】C
【解析】由题意可知甲的效率为1/10，乙的效率为1/6－1/10＝1/15，丙的效率为1/8－1/15＝7/120。由此可知甲的效率是乙的效率的1.5倍，而砌完时甲比乙多砌2400块砖，这说明甲砌了7200块砖。根据甲丙的效率关系，可知丙砌的砖数为7200×7/120÷1/10＝4200块。
2012/02/24
1、甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，在A、B两地之间往返跑步，甲每秒跑3米，乙每秒跑7米。如果他们第三次迎面相遇点与第四次迎面相遇点的距离是150米，则A、B两地相距多少米？
A. 160 C. 275 C. 325 D. 375
【答案】D
【解析】以AB表示两地之间的距离。根据多次相遇模型，第n次迎面相遇时两人共计跑过的距离之和为（2n－1）个AB距离，其中甲跑的距离占3/(3＋7)，乙占7/(3＋7)。因此可知第三次迎面相遇时，甲跑的距离为(2×3－1)×0.3＝1.5倍的AB距离，因此距离A点0.5个AB距离。第四次迎面相遇时，甲跑的距离为(2×4－1)×0.3＝2.1倍的AB距离，因此距离A点0.1个AB距离。由此可知第三次与第四次迎面相遇点的距离为0.4个AB距离，于是可知AB距离为150÷0.4＝375米。
2、某跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。第一名选手跳水后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分为9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分。那么所有裁判所给分数中最少可能是（ ）分。
A. 9.44 B. 9.48 C. 9.53 D. 9.60
【答案】C
【解析】假定总共有n名裁判，则所有裁判给分的总和为9.68n分。注意到最高分不会超过10分，因此这一总和不超过9.62(n－1)＋10分，也即9.68n≤9.62(n－1)＋10，注意n取整数，可知n≤6。
注意到n名裁判总分为9.68n，而去掉最低分后总和为9.71(n－1)，因此最低分为
最低分＝9.68n－9.71(n－1) ＝9.71－0.03n
因此当n取6时，该最低分最少，且最少的最低分为9.71－0.03×6＝9.53分。
3、从1到9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数。如果这六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？
A. 753 B. 852 C. 951 D. 654
【答案】C
【解析】由三个数字组成六个不同的三位数，则每个数字在每个数位上均出现两次，因此六个三位数之和恰好等于三个数字之和的222倍。因此选取的三个数字之和为3330÷222＝15。只要满足这一组合要求即可，在符合三个数字加和为15的情况下，为使得最大的三位数尽可能大，则要让首位数字尽可能大，因此选取首位数字为9，依次分配其余，可得最大的数字为951。
4、设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN为自然数N的各位数字之和。又记M﹡N表示M除以N的余数。已知M＋N＝4084，那么(PM＋PN)﹡9的值是多少？
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】除以9的余数有一条基本性质：某自然数除以9的余数等于该自然数各位数字之和除以9的余数。对于本题而言，M＋N的过程中可能会有进位，也可能没有进位，但考虑到选项确定，因此无论有进位与否都不影响问题的答案。当不产生进位时，显然PM＋N＝PM＋PN，因此PM＋PN除以9的余数等同于M＋N除以9的余数，也即4084除以9的余数，易知结果为7。
注释：实际上，没有进位时，PM＋N＝PM＋PN；有进位时，PM＋N＝PM＋PN－9K。因此除以9的余数保持不变。
A. 160 C. 275 C. 325 D. 375
【答案】D
【解析】以AB表示两地之间的距离。根据多次相遇模型，第n次迎面相遇时两人共计跑过的距离之和为（2n－1）个AB距离，其中甲跑的距离占3/(3＋7)，乙占7/(3＋7)。因此可知第三次迎面相遇时，甲跑的距离为(2×3－1)×0.3＝1.5倍的AB距离，因此距离A点0.5个AB距离。第四次迎面相遇时，甲跑的距离为(2×4－1)×0.3＝2.1倍的AB距离，因此距离A点0.1个AB距离。由此可知第三次与第四次迎面相遇点的距离为0.4个AB距离，于是可知AB距离为150÷0.4＝375米。
2、某跳水大奖赛的裁判由若干人组成，每名裁判给分最高不超过10分。第一名选手跳水后得分情况是：全体裁判所给分数的平均分为9.68分；如果只去掉一个最高分，则其余裁判所给的分数的平均分是9.62分；如果只去掉一个最低分，则其余的分数的平均分是9.71分。那么所有裁判所给分数中最少可能是（ ）分。
A. 9.44 B. 9.48 C. 9.53 D. 9.60
【答案】C
【解析】假定总共有n名裁判，则所有裁判给分的总和为9.68n分。注意到最高分不会超过10分，因此这一总和不超过9.62(n－1)＋10分，也即9.68n≤9.62(n－1)＋10，注意n取整数，可知n≤6。
注意到n名裁判总分为9.68n，而去掉最低分后总和为9.71(n－1)，因此最低分为
最低分＝9.68n－9.71(n－1) ＝9.71－0.03n
因此当n取6时，该最低分最少，且最少的最低分为9.71－0.03×6＝9.53分。
3、从1到9这9个数字中取出三个可以组成六个不同的三位数。如果这六个三位数的和是3330，那么这六个三位数中最大的是多少？
A. 753 B. 852 C. 951 D. 654
【答案】C
【解析】由三个数字组成六个不同的三位数，则每个数字在每个数位上均出现两次，因此六个三位数之和恰好等于三个数字之和的222倍。因此选取的三个数字之和为3330÷222＝15。只要满足这一组合要求即可，在符合三个数字加和为15的情况下，为使得最大的三位数尽可能大，则要让首位数字尽可能大，因此选取首位数字为9，依次分配其余，可得最大的数字为951。
4、设M、N都是自然数，记PM是自然数M的各位数字之和，PN为自然数N的各位数字之和。又记M﹡N表示M除以N的余数。已知M＋N＝4084，那么(PM＋PN)﹡9的值是多少？
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7
【答案】D
【解析】除以9的余数有一条基本性质：某自然数除以9的余数等于该自然数各位数字之和除以9的余数。对于本题而言，M＋N的过程中可能会有进位，也可能没有进位，但考虑到选项确定，因此无论有进位与否都不影响问题的答案。当不产生进位时，显然PM＋N＝PM＋PN，因此PM＋PN除以9的余数等同于M＋N除以9的余数，也即4084除以9的余数，易知结果为7。
注释：实际上，没有进位时，PM＋N＝PM＋PN；有进位时，PM＋N＝PM＋PN－9K。因此除以9的余数保持不变。
2012/02/23
在1，2，3，……，100这100个自然数中，取两个不同的数，使得它们的和是7的倍数，共有多少种不同的取法？
A. 704 B. 707 C. 714 D. 718
[解析]选B。
除以7余1的有（1，8，15，22，……，92，99）共15个；
除以7余2的有（2，9，16，23，……，93，100）共15个；
除以7余3的有（3，10，17，24，……，87，94）共14个；
除以7余4的有（4，11，18，25，……，88，95）共14个；
除以7余5的有（5，12，19，26，……，89，96）共14个；
除以7余6的有（6，13，20，27，……，90，97）共14个；
除以7余0的有（7，14，21，28，……，91，98）共14个；
要使它们的和是7的倍数，必须是：一个余1一个余6，或一个余2一个余5，或一个余3一个余4，或两个都整除。所以，不同的取法共有15×14＋15×14＋14×14＋14×13÷2＝210＋210＋196＋91＝707种。
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数去除70的余数是多少？
A. 12 B. 15 C. 19 D. 23
[解析]选A。
由余数之和为50，可知该数能够整除70＋110＋160－50，为290。
290=2×5×29，290符合题目的约数只能是29或58。
如果该整数为58，注意到110÷58＝1……52，而52大于50，不符合题意。
如果该整数为29，那么70÷29＝2……12，110÷29＝3……23，160÷29＝5……15，符合要求。因此该整数为29，其除70后的余数为12。
A. 704 B. 707 C. 714 D. 718
[解析]选B。
除以7余1的有（1，8，15，22，……，92，99）共15个；
除以7余2的有（2，9，16，23，……，93，100）共15个；
除以7余3的有（3，10，17，24，……，87，94）共14个；
除以7余4的有（4，11，18，25，……，88，95）共14个；
除以7余5的有（5，12，19，26，……，89，96）共14个；
除以7余6的有（6，13，20，27，……，90，97）共14个；
除以7余0的有（7，14，21，28，……，91，98）共14个；
要使它们的和是7的倍数，必须是：一个余1一个余6，或一个余2一个余5，或一个余3一个余4，或两个都整除。所以，不同的取法共有15×14＋15×14＋14×14＋14×13÷2＝210＋210＋196＋91＝707种。
有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数去除70的余数是多少？
A. 12 B. 15 C. 19 D. 23
[解析]选A。
由余数之和为50，可知该数能够整除70＋110＋160－50，为290。
290=2×5×29，290符合题目的约数只能是29或58。
如果该整数为58，注意到110÷58＝1……52，而52大于50，不符合题意。
如果该整数为29，那么70÷29＝2……12，110÷29＝3……23，160÷29＝5……15，符合要求。因此该整数为29，其除70后的余数为12。
2012/02/20
四名棋手两名选手都要比赛一局，规则规定胜一局得2分，平一局得1分，负一局得0分。比赛结果，没有人全胜，并且各人的总分都不相同，那么至多有几局平局？
[解析]首先要明确比赛共有3+2+1=6局，那么总得分为6×2=12分。其次12=5+4+2+1，所以四名选手比分为5、4、2、1，即第一名选手和第二名选手平局一场，第二名选手和第三名选手平局一场，第三名选手和第四名选手平局一场，所以最多平局3场。
12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分。比赛完毕后，获得第三名和第四名的两个队的得分最多可以相差多少分？
[解析]假设甲乙丙是前三名。要使得第三名与第四名的得分相差最多，那么第三名的得分要尽量多同时第四名的得分尽量少。第三名在和后面九名选手比赛时全胜得分较多，但他的得分最多不超过第二名，也就是说第三名与第一、二名并列时得分最高。此时他们之间的三场比赛应该是各胜一场：甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲。前三名的得分均为3+9×3=30分。第四名的得分最少不少于第五名，那么第四名与后面所有的选手并列时得分最少，此时他们之间的比赛全为平局。各得8分。所以第三名与第四名之间最多相差30-8=22分。
[解析]首先要明确比赛共有3+2+1=6局，那么总得分为6×2=12分。其次12=5+4+2+1，所以四名选手比分为5、4、2、1，即第一名选手和第二名选手平局一场，第二名选手和第三名选手平局一场，第三名选手和第四名选手平局一场，所以最多平局3场。
12个队参加一次足球比赛，每两个队都比赛一场，每场比赛中，胜队得3分，负队得0分，平局则各得1分。比赛完毕后，获得第三名和第四名的两个队的得分最多可以相差多少分？
[解析]假设甲乙丙是前三名。要使得第三名与第四名的得分相差最多，那么第三名的得分要尽量多同时第四名的得分尽量少。第三名在和后面九名选手比赛时全胜得分较多，但他的得分最多不超过第二名，也就是说第三名与第一、二名并列时得分最高。此时他们之间的三场比赛应该是各胜一场：甲胜乙、乙胜丙、丙胜甲。前三名的得分均为3+9×3=30分。第四名的得分最少不少于第五名，那么第四名与后面所有的选手并列时得分最少，此时他们之间的比赛全为平局。各得8分。所以第三名与第四名之间最多相差30-8=22分。
2012/02/20
某工厂的一个生产小组，当每个工人都在岗位工作，9小时可以完成一项生产任务。如果交换工人甲和乙的岗位，其他人不变，可提前1小时完成任务；如果交换工人丙和丁的岗位，其他人不变，也可以提前1小时完成任务。如果同时交换甲和乙，丙和丁的岗位，其他人不变，可以提前多少小时完成？
A 1.4 B 1.8 C 2.2 D 2.6
[答案]B
[解析]交换甲乙或丙丁的工作岗位，均可8小时完成任务，说明交换甲乙或丙丁，整体工作效率由1/9变为1/8，提高了1/72。则同时交换甲乙、丙丁，整体效率提高了1/36，则效率由1/9变成1/9+1/36 = 5/36，于是完成用时36/5 = 7.2，提前了1.8小时完成。
A 1.4 B 1.8 C 2.2 D 2.6
[答案]B
[解析]交换甲乙或丙丁的工作岗位，均可8小时完成任务，说明交换甲乙或丙丁，整体工作效率由1/9变为1/8，提高了1/72。则同时交换甲乙、丙丁，整体效率提高了1/36，则效率由1/9变成1/9+1/36 = 5/36，于是完成用时36/5 = 7.2，提前了1.8小时完成。
